generalizations and related concepts---l-adic[/wiki/P-adic_number ]
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/wiki/Ramanujan_congruences{exceptional(be treated as a special case? ) reseach!? 別格と
されている研究！・？・ }
The reals and the p-adic numbers are the completions of the rationals; it is also possible to complete other fields, for instance general algebraic number fields, in an analogous way. This will be described now.
Suppose D is a Dedekind domain and E is its field of fractions. Pick a non-zero prime ideal P of D. If x is a non-zero element of E, then xD is a fractional ideal分数イデアル {~ デデキント整域において、この??状況ははるかに単純であ. 特に、すべての分数イデアルは可逆 である. 実はこの性質はデデキント整域を特徴づける. 整域がデデキント整域であるのはすべての 分数イデアルが可逆であるとき、かつそのときに限る. 分数イデアルの群を単項分数イデアルから なる部分群で割った商群はデデキント整域の重要な不変量であり、イデアル類群と呼ばれる, ,, 数 学、特に可換環論において、fractional ideal分数イデアル の概念は整域の文脈で導入され、〝特 にデデキント整域 〟の研究において成果が多い, , ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許 されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくる ような文脈では、明確にするために後者を integral ideal整イデアル と呼ぶこともある.< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB >/wiki/分数イデアル } and can be uniquely factored as a product of positive and negative powers of non-zero prime ideals of D. We write ordP(x) for the exponent of P in this factorization, and for any choice of number c greater than 1 we can set
| x | _P =[≒? ] c ^{− ord P ( x )} .
Completing with respect to this absolute value |⋅|_P yields a field EP, the proper generalization of the field of p-adic numbers to this setting. The choice of c does not change the completion (different choices yield the same concept of Cauchy sequence, so the same completion ). It is convenient, when the residue field D/P is finite, to take for c the size of D/P.
For example, when E is a number field, Ostrowski's theorem[due to Alexander Ostrowski< https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Ostrowski > (1916), 彼自身は、大学にも・通わなか った？・！・ 人から教わり、学び? !,, 若いころは音楽をよく聴いていたそうだ？・？・ 〝Marburg Universityフィリップ大学マールブルク< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95% E3%82%A3%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%97%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83% 96%E3%83%AB%E3%82%AF > 〟で・教え始めてからは・・その職域から？・さまざまな ideasが生まれ ・・活動の幅を広げていった!! ?, ,, →→ 獨協大学< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8D% A8%E5%8D%94%E5%A4%A7%E5%AD%A6 >ここは？、医学部を新設してから、広がったｶﾅ？(埼玉が本部! ?,, )？・？・ - 学術交流協定校 ] says that every non-trivial non-Archimedean absolute value on E arises as some |⋅|P. The remaining non-trivial absolute values on E arise from the different embeddings of E into the real or complex numbers. (In fact, the non- Archimedean absolute values can be considered as simply the different embeddings of E into the fields Cp, thus putting the description of all the non-trivial absolute values of a number field on a common footing. )
Often, one needs to simultaneously keep track of all the above-mentioned completions when E is a number field (or more generally a global field ), which are seen as encoding "local " information. This is accomplished by adele rings and idele groups.
p-adic integers can be extended to p-adic solenoids T _p . There is a map from T _p to the circle group whose fibers are the p-adic integers Z _p , in analogy to how there is a map from R to the circle whose fibers are Z .
< https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number >
{数を一般から加工する作業、作用?(e.x. , 基数を10→ 3 ? ! ) ??, , 神からアタエラレナイトこ れは・できない、ことカナ？・？・？ !?, , }
(refer to?, )
https://koyo-net.co.jp/author/user_name/
グリム兄弟が勉強したマールブルグ大学 - 光陽メディア< https://koyo- net.co.jp/company/overview.html >
(a lot of PHOTOs!! fun! !?, , )
https://www.reitaku-u.ac.jp/gp/program/6321/
マールブルク大学 – 麗澤大学【国際交流センター 】
沿 革, 1527年創立. 当時のヘッセン方伯フィリップによって建てられた世界最古のプロテスタント 大学である. 伝統的に医学、化学、哲学に強く、ノーベル賞受賞者も多く ...
(relevant, )
https://shinichiwanko2000.livedoor.blog/archives/28627809.html
2025年05月29日 cardinality---/wiki/p-adic_number
The reals and the p-adic numbers are the completions of the rationals; it is also possible to complete other fields, for instance general algebraic number fields, in an analogous way. This will be described now.
Suppose D is a Dedekind domain and E is its field of fractions. Pick a non-zero prime ideal P of D. If x is a non-zero element of E, then xD is a fractional ideal分数イデアル {~ デデキント整域において、この??状況ははるかに単純であ. 特に、すべての分数イデアルは可逆 である. 実はこの性質はデデキント整域を特徴づける. 整域がデデキント整域であるのはすべての 分数イデアルが可逆であるとき、かつそのときに限る. 分数イデアルの群を単項分数イデアルから なる部分群で割った商群はデデキント整域の重要な不変量であり、イデアル類群と呼ばれる, ,, 数 学、特に可換環論において、fractional ideal分数イデアル の概念は整域の文脈で導入され、〝特 にデデキント整域 〟の研究において成果が多い, , ある意味で、整域の分数イデアルは分母が許 されたイデアルのようなものである。分数イデアルと普通の環のイデアルがともに議論に出てくる ような文脈では、明確にするために後者を integral ideal整イデアル と呼ぶこともある.< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%88%86%E6%95%B0%E3%82%A4%E3%83%87%E3%82%A2%E3%83%AB >/wiki/分数イデアル } and can be uniquely factored as a product of positive and negative powers of non-zero prime ideals of D. We write ordP(x) for the exponent of P in this factorization, and for any choice of number c greater than 1 we can set
| x | _P =[≒? ] c ^{− ord P ( x )} .
Completing with respect to this absolute value |⋅|_P yields a field EP, the proper generalization of the field of p-adic numbers to this setting. The choice of c does not change the completion (different choices yield the same concept of Cauchy sequence, so the same completion ). It is convenient, when the residue field D/P is finite, to take for c the size of D/P.
For example, when E is a number field, Ostrowski's theorem[due to Alexander Ostrowski< https://en.wikipedia.org/wiki/Alexander_Ostrowski > (1916), 彼自身は、大学にも・通わなか った？・！・ 人から教わり、学び? !,, 若いころは音楽をよく聴いていたそうだ？・？・ 〝Marburg Universityフィリップ大学マールブルク< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95% E3%82%A3%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%97%E5%A4%A7%E5%AD%A6%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83% 96%E3%83%AB%E3%82%AF > 〟で・教え始めてからは・・その職域から？・さまざまな ideasが生まれ ・・活動の幅を広げていった!! ?, ,, →→ 獨協大学< https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8D% A8%E5%8D%94%E5%A4%A7%E5%AD%A6 >ここは？、医学部を新設してから、広がったｶﾅ？(埼玉が本部! ?,, )？・？・ - 学術交流協定校 ] says that every non-trivial non-Archimedean absolute value on E arises as some |⋅|P. The remaining non-trivial absolute values on E arise from the different embeddings of E into the real or complex numbers. (In fact, the non- Archimedean absolute values can be considered as simply the different embeddings of E into the fields Cp, thus putting the description of all the non-trivial absolute values of a number field on a common footing. )
Often, one needs to simultaneously keep track of all the above-mentioned completions when E is a number field (or more generally a global field ), which are seen as encoding "local " information. This is accomplished by adele rings and idele groups.
p-adic integers can be extended to p-adic solenoids T _p . There is a map from T _p to the circle group whose fibers are the p-adic integers Z _p , in analogy to how there is a map from R to the circle whose fibers are Z .
< https://en.wikipedia.org/wiki/P-adic_number >
{数を一般から加工する作業、作用?(e.x. , 基数を10→ 3 ? ! ) ??, , 神からアタエラレナイトこ れは・できない、ことカナ？・？・？ !?, , }
(refer to?, )
https://koyo-net.co.jp/author/user_name/
グリム兄弟が勉強したマールブルグ大学 - 光陽メディア< https://koyo- net.co.jp/company/overview.html >
(a lot of PHOTOs!! fun! !?, , )
https://www.reitaku-u.ac.jp/gp/program/6321/
マールブルク大学 – 麗澤大学【国際交流センター 】
沿 革, 1527年創立. 当時のヘッセン方伯フィリップによって建てられた世界最古のプロテスタント 大学である. 伝統的に医学、化学、哲学に強く、ノーベル賞受賞者も多く ...
(relevant, )
https://shinichiwanko2000.livedoor.blog/archives/28627809.html
2025年05月29日 cardinality---/wiki/p-adic_number
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